Контрольная работа №1 по теме: «Свойства корня n-ой степени. Иррациональные уравнения. Степень с дробным показателем и её свойства»
8. Вычислите значение выражения ( ) 2
Контрольная работа №1 по теме: «Свойства корня n-ой степени. Иррациональные уравнения. Степень с дробным показателем и её свойства»
1. Постройте график функции . Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Решите уравнения:
3. Решите неравенства:
4. Решите систему уравнений:
Вариант 2.
1. Постройте график функции . Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Решите уравнения:
3. Решите неравенства:
4. Решите систему уравнений:
Контрольная работа №3 по теме: «Методы и приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств»
1. Постройте график функции .
Назовите ее свойства:
а) область определения, область значений, промежуток возрастания, точку пересечения графика с осью абсцисс;
б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Решите уравнения:
3. Решите неравенство
4. Решите систему уравнений:
Вариант 2.
1. Постройте график функции .
Назовите ее свойства:
а) область определения, область значений, промежуток возрастания, точку пересечения графика с осью абсцисс;
б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
2. Решите уравнения:
3. Решите неравенство
4. Решите систему уравнений:
Контрольная работа №4 по теме: «Производная логарифмической, показательной и степенной функции»
1) Дана функция . Найдите: а)
б) общий вид первообразных для данной функции.
2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x; y=2; x=2
3) Вычислите: а) б)
4) Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию .
Вариант 2.
Действия со степенями и корнями
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:
3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:
4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:
5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
Пример 1. Найти значение выражения
Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).
В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.
Степень с целым и дробным показателем
Имеют место следующие тождества:
Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти значение выражения
Пример 3. Найти значение выражения
Пример 4. Найти значение выражения
Преобразования арифметических корней
1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).
2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).
3. Если , то (правило извлечения корня из корня).
4. Если , то (правило возведения корня в степень).
5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.
6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.
7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:
(правило умножения корней),
(правило деления корней),
8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .
9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.